Тогда по порядку. Пока только о тезисе, что складывать можно "одинаковое".
///
Допустим в руках вилка и ложка. мы же не говорим, что в сумме будет две вилки или две ложки.
А скажем, что два столовых предмета (общее между ложкой и вилкой то, что они столовые приборы).
///
Даже когда одно "во всем отлично" от другого, а другое "во всем отлично" от одного -> то можем складывать "во всем отлично" и получим в сумме: 2 "во всем отлично".
###
Есть какие-то возражения или непонятноти?

Все верно:
1) гусиное перо+ голубь+ телефон = 3 средства коммуникации
2) гусиное перо+ голубь+ телефон = 1 живое
3) гусиное перо+ голубь+ телефон = 2 имеющих перо или перья
...
Если складывть "неотличимые друг от друга"...
4) шарик шарик шарик = 3 шарика
5) палочка палочка = 2 палочки
...
Когда говорят только о натуральном числе (без какого-либо качества: без голубя, шарика, гусиного пера и т.д), то соотносят числа с чем-то существующим:
6) есть + есть + есть = 3 есть
т.е. максимально абстрагируемся от всего конкретного (и это "есть" просто опускаем = т.е просто не говорим об этом.")

Да. Пользуемся.
Весь фокус вот в чем:
1"неважно что"  + 1"неважно что"  + 1"неважно что"  = 3 "неважно что"
Когда мы складываем абстрактные 1 + 1 + 1 = 3, мы просто отбрасываем это "неважно что". 
Допустим, что потом узнали (в первом классе), что 2 + 3 = 5. Тогда уже, решая практические примеры, вместо "неважно что" можно подставить что-то интересующее в конкретный момент - апример, домашних животных. 2"домашних животных" + 3"домашних животных" = 5"домашних животных"
//
Вообще, само по себе рассмотрение привычных нам натуральных чисел - бессмысленно.
Любой математик скажет, что там, где говорится о числе, имеют ввиду отношене двух множеств:
одно множество содержит то, что собственно считаем (шарики, палочки и прочее)
другое множество содержит то, чем считаем (привычное нам 1,2,3,..)

А я пока ничего нового в определение пока и не ввел.
Новое определение числа состоит как бы из трех подчастей:
1)выясняем как строится (в чем закономерность) привычного всем ряда натуральных чисел
2) делаем обобщение для выясненной закономерности
3) (самое сложное) выясняем что есть "один".
///
По первому пункту:
рассмотрим ряд натуральных чисел: 1->2->3->4->...
Этот ряд строится по принципу: каждое натуральное число должно отличаться от всех ранее введенных и должно следовать после последнего введенного.
Пример счета чего-то, например, шариков:
берем шарик и кладем его в множество того, что считаем (назовем его множеством одинаковостей). Далее сопоставляем этому шарику любое имя (можно взять любое имя, т.к. во множестве того, чем считаем (назовем его множеством различий)- ничего нет). Пускай этим любым именем будет "один". Далее берем еще шарик и одновременно кладем его в множество одинаковостей и сопоставляем ему любое имя, но отличное от уже введенных во множество различий (а в этом множество содержится "один", а значит его использовать нельзя.) Например этим именем может быть "два". Два должно следовать после последнего введенного, т.е. после "один". Далее берем еще один шарик и одновременно кладем его во множество одинаковостей и сопоставляем ему имя, отличное от уже задействованных (1 и 2 - заняты). Пусть будет "три" и это три должно следовать после последнего введенного, т.е. после "два". И так дале...
///
Понятен принцип построения натуральных чисел: 1->2->3->4->... ???

Тогда упростим, но без потери смысла:
Множество то-чем-считаем строится по принципу:
первое имя-число может быть любым, а каждое последующее  должно отличаться от уже введенных и следовать после последнего введенного.
В таком виде понятно?

Итак, что мы имеем?
В множество то-что-считаем можем заносить:
1) неважно-что, но ТОЖДЕСТВЕННОЕ (либо шарики, либо палочки, либо двух-спортсменов-как-одно, ..., многое-как-одно, ...)
2) даже когда заносим в это множество различное, то ищем в этом различном что-то тождественное.
  Например, имеем: А, В, С.
  Они разные, но в них есть общее (тождественное) - например то, что они все "не верблюды".
  Тогда: "не врблюдность" в А = "не врблюдность" в В = "не врблюдность" в С.
///
Если в множестве то-что-считаем {неважно-что-но-ТОЖДЕСВЕННОЕ, неважно-что-но-ТОЖДЕСВЕННОЕ, ...}
оставить только одно неважно-что-но-ТОЖДЕСВЕННОЕ, то с чем будет отождествлятся оставшееся?
ОТОЖДЕСТВЛЯТСЯ будет с собой.
Поэтому "ОДИН" есть ТОЖДЕСТВО с собой.
Тогда можно сказать, что 1 = {шарик=шарик} = {2 спортсмена = 2 спортсмеа} = {"не врблюдность" в А = "не врблюдность" в В}
///
В математике кроме аксиом Пеано есть еще понятие (давно не оспариваемое) ординальной единицы ( 1 = {0} )
Преобразуем нашу единицу (тождество с собой) к ординальной единице...
1 =  {0} = {0 = шарик - шарик} = {0 = 2 спортсмена - 2 спортсмеа} = {0 = "не врблюдность" в А - "не врблюдность" в В}
///
Новое в определении числа как различия тождественного заключается в том, что представления Пеано и ординальное число - лишь частный случай.

Отредактировано bulygin69 (2011-12-14 10:12:43)

Аксиомы Пеано описывает всем привычное множество то-чем-считаем {1->2->3->4-> и. т.д.} :
- существует 1, после 1 следует 2, после 2 следует 3, после 3 следует 4 и т.д.

Отредактировано bulygin69 (2011-12-14 19:52:32)

Теперь у меня вопрос:
имеется множество, что в нем тождественного?
{ {шарик=шарик}, {2 спортсмена = 2 спортсмеа}, {"не врблюдность" в А = "не врблюдность" в В} }
...

Отредактировано bulygin69 (2011-12-15 04:24:28)